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Date(s) - 5 juin 2015

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$Titre : Détection d’une tumeur cancéreuse dans un sein par des méthodes d’optimisation stochastique\nRésumé : La tomographie par impédance électrique (EIT) est une technique permettant de reconstruire la distribution de la conductivité dans un conducteur à partir de mesures sur le bord. Il y a plusieurs applications de l’EIT par exemple la détection d’une tumeur cancéreuse dans un sein, l’image d’écoulement dans un pipeline. Le problème inverse en EIT a été proposé la première fois par Calder´on. La conductivité est reconstruite à partir de mesures bruitées sur le bord. C’est un problème mal-posé, difficile car une petite erreur dans la mesure peut perturber le résultat. Dans ce travail, nous voulons à la fois détecter des anomalies et reconstruire la distribution de la conductivité dans le corps (dans le cas o`u la conductivité est isotrope et constante par morceaux). Nous allons travailler avec le modèle sphérique avec plusieurs couches qui prend en compte la conductivité électrique faible de la couche de la peau. A chaque couche nous supposons que la conductivité électrique est une constante. Sur la peau, nous attachons des électrodes.\nA travers ces électrodes nous envoyons un courant faible (la tension est imposée) et sur la même électrode l’intensité est mesurée.\nLe problème direct consiste à estimer les intensités recueillies sur chaque électrode en connaissant la distribution de la conductivité, les caractéristiques de la tumeur et la tension. D’un point de vue mathématique, le calcul des intensités sur les électrodes équivaut à calculer la moyenne sur les électrodes des solutions d’une équation de diffusion avec certaines conditions aux bords particulières. Pour les calculer, nous allons utiliser la méthode de Monte Carlo qui se basent sur la simulation du mouvement brownien en utilisant la marche sur les sphères et le traitement de la partie réfléchie du Mouvement Brownien en utilisant des techniques de différences finies. Cette méthode est moins coûteuse par rapport aux méthodes déterministes car nous avons besoin de calculer seulement la solution sur une partie du domaine.\nL’objectif du problème inverse est de localiser la position de l’inclusion et son rayon connaissant des mesures sur le bord et la distribution de conductivité. Contrairement aux méthodes habituelles utilisées pour résoudre le problème inverse, souvent des méthodes déterministes, nous nous concentrons sur des méthodes stochastiques. Elles sont moins précises par rapport aux méthodes déterministes et elles convergent plus lentement vers la solution mais en revanche elles permettent de localiser l’optimum dans l’espace des paramètres sans calcul de gradient par rapport aux paramètres. C’est intéressant dans le cas o`u la fonction coût n’est pas différentiable ou si le calcul du gradient est coûteux. La méthode que nous utilisons appartient à la famille des méthodes génétiques. Il s’agit de l’algorithme à estimation de distribution. Son principe est de travailler avec une population de solutions et d’améliorer la qualité de la population à chaque étape grâce à une sélection des meilleurs candidats. Nous proposons aussi des critères d’arrêt. Dans tous les cas que nous allons traiter, cette méthode converge vers l’optimum après seulement quelques étapes.[$