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Date(s) - 27 juin 2014

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$(travail\; en\; collaboration\; avec\; J.\; Bell)\; L’étude\; d’équations\; diophantiennes,\; typiquement\; la\; recherche\; des\; zéros\; entiers\; ou\; rationnels\; d’un\; polynôme\; de\; plusieurs\; variables\; à\; coefficients\; entiers,\; conduit\; naturellement\; à\; se\; poser\; les\; questions\; suivantes\; :\; l’équation\; possède-t-elle\; au\; moins\; une\; solution\; ?\; Une\; infinité\; de\; solutions\; ?\; Peut-on\; les\; trouver/décrire\; toutes\; ?\; Le\; point\; de\; départ\; de\; l’exposé\; sera\; un\; énoncé\; diophantien\; classique\; :\; le\; théorème\; de\; Skolem-Mahler-Lech.\; Il\; concerne\; les\; zéros\; des\; suites\; à\; valeurs\; dans\; un\; corps\; de\; caractéristique\; nulle\; qui\; vérifient\; une\; relation\; de\; récurrence\; linéaire\; à\; coefficients\; constants.\; Malgré\; sa\; simplicité\; apparente,\; aucune\; démonstration\; effective\; n’en\; est\; connue.\; Lorsque\; le\; corps\; des\; nombres\; complexes\; est\; remplacé\; par\; un\; corps\; de\; caractéristique\; non\; nulle,\; je\; montrerai\; que\; la\; situation\; est\; très\; différente.\; La\; théorie\; des\; automates\; finis\; permet\; alors\; de\; répondre\; aux\; trois\; questions\; fondamentales\; évoquées\; précédemment.[$

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$(travail en collaboration avec J. Bell) L’étude d’équations diophantiennes, typiquement la recherche des zéros entiers ou rationnels d’un polynôme de plusieurs variables à coefficients entiers, conduit naturellement à se poser les questions suivantes : l’équation possède-t-elle au moins une solution ? Une infinité de solutions ? Peut-on les trouver/décrire toutes ? Le point de départ de l’exposé sera un énoncé diophantien classique : le théorème de Skolem-Mahler-Lech. Il concerne les zéros des suites à valeurs dans un corps de caractéristique nulle qui vérifient une relation de récurrence linéaire à coefficients constants. Malgré sa simplicité apparente, aucune démonstration effective n’en est connue. Lorsque le corps des nombres complexes est remplacé par un corps de caractéristique non nulle, je montrerai que la situation est très différente. La théorie des automates finis permet alors de répondre aux trois questions fondamentales évoquées précédemment. http://adamczewski.perso.math.cnrs.fr Boris ADAMCZEWSKI [$