Soit A une matrice à coefficients entiers, dilatante (i.e. toutes les valeurs propres de sont de module > 1). L’application définit un endomorphisme du tore. Cet endomorphisme préserve la mesure de Haar.

Mihailescu a montré en 2011 que cet endomorphisme est isomorphe à un décalage de Bernoulli uniforme. Mais sa preuve est non-constructive. Nous verrons deux approches différentes qui fournissent une application facteur dans un sens ou dans l’autre. Lorsque l’inverse de A est contractante ces applications facteurs sont des isomorphismes.