Antonin Callard

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Distorsion dans le groupe d’automorphismes d’un full-shift. (Travaux en commun avec Ville Salo).

Soit X un full-shift, i.e. l’ensemble des mots bi-infinis sur un alphabet donné. Munir X de la topologie produit en fait un espace de Cantor. Considérons l’ensemble de ses automorphismes
Aut(X)(homéomorphismes invariants par translation), qui forme un groupe
pour la composition.

La structure de Aut(X) peut se révéler complexe, et un certain nombre
d’inconnues demeurent. Une direction de recherche consiste à étudier
quels groupes peuvent être réalisés comme sous-groupes de Aut(X) (e.g.
tous les groupes finis, les groupes abéliens f.g., ainsi que leurs
produits, produits libres, sommes directes, etc… ou encore le
lamplighter group), ou au contraire à étudier des restrictions
permettant d’affirmer qu’un groupe ne peut pas être plongé dans Aut(X).

Les plongements dans Aut(X) de groupes comme les Baumslag-Solitar
BS(m,n) ou le groupe de Heisenberg demeurent des problèmes ouverts. Pour
progresser sur cette question, cet exposé s’intéressera à l’existence
d’éléments de distorsion dans Aut(X), i.e. des éléments du groupe dont
la norme de mot (relativement à un ensemble fini de générateurs) des
puissances croît sous-linéairement.

On montrera que tout full-shift contient un élément de distorsion (cet
élément étant, moralement, la machine SMART introduite par J. Cassaigne,
N. Ollinger et R. Torres-Avilés). Une conséquence de cette preuve est
l’existence d’un élément de distorsion dans le groupe de Thompson-Brin 2V.