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Date(s) - 18 février 2015

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$1) Asymptotiques spectrales du Laplacien de Dirichlet dans une couche conique(en collaboration avec M. Dauge et N. Raymond) En physique mésoscopique les semi-conducteurs peuvent être modélisés par desopérateurs de Schrödinger dans des tubes (aussi appelés guides d’ondes) ou dansdes couches avec conditions de Dirichlet aux bords. L’existence d’états bornéspour le Laplacien de Dirichlet dans de tels systèmes est importante en pratiquecar le spectre discret entraine des résonances.De tels systèmes ont déjà été étudiés et, lorsque ces tubes ou ces couches sontsuffisamment réguliers, l’existence de spectre discret est intimement liée à lacourbure de telles structures.Dans cet exposé, on s’intéressera à un cas particulier où la courbure n’est pasrégulière : une couche limitée par deux cônes coaxiaux infinis et de mêmeouverture. Le spectre discret du Laplacien de Dirichlet dans de telles couchesconiques sera étudié à travers deux aspects.Dans un premier temps on montrera que, pour toute ouverture, les valeurspropres sont en nombre infini et on précisera leur accumulation sous le seuildu spectre essentiel.Dans un second temps on se focalisera sur le régime de petite ouverture pourlequel le problème admet une reformulation semi-classique. Une stratégie detype Born-Oppenheimer permet, dans ce régime, de localiser les fonctionspropres dans le guide, ce qui nous permettra d’établir un développementasymptotique à deux termes des premières valeurs propres.[$