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Date(s) - 4 décembre 2012

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$Le point de départ est le système de Navier-Stokes 2D à surface libre, modélisant l’écoulement d’un fluide entraîné par la gravité le long d’un plan incliné. On introduit dans ces équations un modèle de turbulence avec longueur de mélange (Prandtl, Van Driest, Cebeci). Celle-ci apparaît dans la loi constitutive des contraintes visqueuses, qui devient alors non linéaire. Dans ce travail, nous nous plaçons dans l’asymptotique classique “ondes longues” nécessaire à l’obtention du système de Saint-Venant. Nous montrons alors que les développements de Hilbert de la solution deviennent singuliers, ce qui permet de retrouver au niveau théorique la présence d’une couche limite visqueuse en régime turbulent. Des estimations d’erreurs sont obtenues, en fonction d’un autre petit paramètre du problème, mesurant, en quelque sorte la taille de la couche limite. Enfin un système de Saint-Venant précis à l’ordre 1 est construit de manière consistante, faisant apparaître un terme source de friction non linéaire. $