Seminar Teich – May,21st
vendredi 21 mai à 11h Vincent Delecroix a parlé sur la Séparation des exposants de Lyapunov du flot de Teichmüller.
Et voici le résumé :
 
Les exposants de Lyapunov sont les valeurs asymptotiques
moyennes d’un cocycle linéaire au-dessus d’un système dynamique
(typiquement la dérivée). L’exemple le plus élémentaire consiste
à prendre deux matrices A et B dans SL(d,R) dont on prend
un produit aléatoire. Les exposants de Lyapunov sont les valeurs
limites renormalisées des valeurs singulières de ce produit.

La séparation des exposants de Lyapunov d’un système dynamique
mesure son défaut de conformité (dans son sens géométrique). Dans
le cadre de dynamique de type hyperbolique les égalités entre
exposants de Lyapunov sont entièrement déterminées par la cloture
de Zariski du groupe engendré par le cocycle (A et B dans l’exemple
ci-dessus). Pour démontrer la séparation des exposants on dispose
grossièrement de deux approches

1) (“version forte”) déterminer le groupe engendré par des
   méthodes géométriques ou algébriques

2) (“version faible”) démontrer que certaines formes de matrices
   apparaissent dans le groupe (à la Guivarc’h–Raugi ou
   Avila–Viana)

Dans le cadre du flot de Teichmüller sur les espaces de module de
différentielles Abéliennes la séparation a été conjecturé par
Kontsevich–Zorich et démontré en toute généralité par
Avila–Viana via la méthode 2). Depuis récemment, on comprend bien
le groupe engendré (Gutiérrez-Romo en raffinant Avila–Viana
et Calderon–Salter avec une approche géométrique). La difficulté
de la mise en oeuvre de la méthode 2) dans ce cadre vient du fait
qu’on a une famille infinie de systèmes dyanmiques à traîter. Le but
de l’exposé sera d’expliquer comment démontrer la séparation en
toute généralité via un mélange de 1) et 2).

Travail en commun avec M. Bell, V. Gadre, R. Gutiérrez-Romo et S.
Schleimer.
 
Pour voir les images illustrant l’exposé, Vincent vous invite de visiter la page suivante : http://paulbourke.net/fractals/lyapunov/