Mark Spivakovsky – La solution récente du problème de Nash (d’après Fernandez de Bobadilla, Pe Pereira, de Fernex, Johnson et Kollar).

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Date/heure
Date(s) - 26/09/2013
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Soit $X$ une variété algébrique complexe ou analytique. Le problème de Nash est la question de l’existence d’une bijection entre deux ensembles finis: l’ensemble de composantes irréductibles de l’espace des arcs tracées sur $X$ qui traversent $Sing(X)$ et l’ensemble de composantes irréductibles essentielles du diviseur exceptionnel dans n’importe quelle résolution des singularités de $X$. La solution affirmative dans le cas où $\dim\ X=2$ a été donnée par J. Fernandez de Bobadilla et M. Pe Pereira en 2011. En dimension supérieure, le premier contreexemple date de 2002; il est du à S. Ishii et J. Kollar ($\dim\ X\ge4$). En 2012 T. de Fernex a construit deux contreexemples en dimension 3. Plus récemment, Johnson et Kollar ont donné une classe très large de contreexemples en toutes dimensions supérieures ou égales à 3. Ils ont également proposé un problème de Nash modifié, pour lequel on ne dispose d’aucun contreexemple pour l’instant. Le but de cet exposé est d’abord introduire le problème (en commençant par les définitions de base) et en suite présenter ces développements récents, en se concentrant surtout sur les contreexemples et le problème de Nash modifié.