Mantile Andréa – seminaire GOMS

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Date/heure
Date(s) - 21/11/2012
15 h 00 min - 16 h 00 min

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Conditions d’interface et modèles de transport quantiques. En collaboration avec F.Nier et A.Faraj, nous avons montré que une simple modification du Laplacien 1D avec conditions d’interface artificielles permet une nouvelle approche à l’évolution adiabatique des résonances quantiques. Dans ce contexte ‘modifié’, on peut développer efficacement l’étude des modèles réduites pour la dynamique non-linéaire de Schrödinger-Poisson dans le régime des puits quantiques dans un île sémiclassique. Un point essentielle est le contrôle des déformations du spectre et du système dynamique introduites par les conditions d’interface. En particulière, nous sommes intéressés par des estimations uniformes-en-temps de la perturbation du semigroupe. La difficulté est liée au caractère non-autoadjoint de notre classe d’opérateurs, qui entraîne une perte d’accretivité pour le générateur de la dynamique quantique. Dans ce cas, une analyse ‘perturbative’ du problème permet un contrôle de l’erreur seulement pour des temps finis. En suivant une stratégie alternative, il est possible de définir par similitude la dynamique déformée à partir d’une dynamique quantique unitaire générée par une Hamiltonienne ‘physique’. Pour des petits valeurs du paramètre de déformation ?, cela permet de développer une comparaison ‘dynamique’ entre les deux modèles. On montre ainsi que la distance entre les semigroupes correspondantes est dominée par |?| uniformément en temps dans la norme opérateur sur L². Quand l’état initial est donné avec une condition restrictive sur les énergies, l’analyse précédente s’adapte à la modélisation d’un système quantique 1D dans le régime des puits quantique dans une île sémiclassique. Dans ce cadre, on montre que les conditions d’interface artificielles introduisent des perturbations de la dynamique contrôlées par |?|/h², étant h>0 un paramètre qui fixe l’échelle quantique du système. Pour finir, le problème du scattering liée aux conditions au bord non-autoadjointes, paramétrées par ?, est considéré. On donne un résultat partiel, dépendant de la taille de ?, et on adresse des questions ouvertes.