M. Chichignoud – Estimateur de Huber et Adaptation.

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Date/heure
Date(s) - 26/05/2011
11 h 00 min - 12 h 00 min

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On se propose d’estimer la fonction de régression dans un modèle additif Y= f(X) + “bruit”. La densité du bruit est supposé symétrique, mais inconnue par le statisticien. De plus, on ne suppose aucun moment sur ce bruit. La fonction de régression f est supposée régulière, i.e. appartenant à une boule de Hölder. On souhaite estimer la fonction f en un point y. Le design X est supposé aléatoire et indépendant du bruit. Nous développons un estimateur localement paramétrique qui est construit avec le critère dit de “Huber”. Ce critère utilise deux régimes, norme 1 sur les bords et norme 2 autour de 0. Ceci permet d’obtenir un estimateur robuste (non sensible aux valeurs extrêmes) et indépendant de la densité du bruit. Pour le choix de la fenêtre (taille du voisinage sur lequel on estime), nous sélectionnons celle-ci à l’aide de la méthode de Lepski. Ainsi, notre estimateur atteint la vitesse adaptative classique sur les espaces de Hölder pour tout modèle additif avec densité symétrique (par exemple, bruit gaussien ou bruit de Cauchy). Je présenterai la notion d’estimation nonparamétrique, l’approche minimax avec le risque de notre estimateur et enfin je parlerai d’adaptation (enjeux), en particulier l’idée de Lepski. Tout cela sera fait dans un but pédagogique. Au final, je parlerai des perspectives pour la pratique, notamment pour le débruitage d’images.