Jimmy Lamboley – Optimisation de forme sous contrainte de convexité

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Date/heure
Date(s) - 06/11/2012
11 h 00 min - 12 h 00 min

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On considère des problèmes d’optimisation de forme du type suivant : $ $J(K_{0})=\min\{J(K), K\textrm{ convexe }\subset\mathbb{R}^d\},$$ où $J$ est une fonctionnelle de forme.\ L’objectif est de comprendre la nature géométrique d’une solution $K_0$, pour différentes fonctions de forme $J$.\ Le problème de résistance minimal de Newton est le plus vieux problème de ce type, et il a été prouvé que les minimiseurs montrent des ruptures de symétries et de régularité, inhabituelles en calcul de variation.\ De nombreux problèmes ouverts, issus de l’analyse fonctionnelle, de la géométrie convexe, et des EDP rentrent dans la formulation précédente ; les plus célèbres sont probablement les conjectures de Mahler et de Polyà-Szegö. Ils consistent à chercher un minimiseur, avec $J(K)=|K|| K^*|$ le produit du volume de $K$ et de son corps polaire $K^*$ pour le premier problème, et avec $J(K)=Cap(K)^2/P(K)$ le ratio de la capacité électrostatique et de la mesure surfacique pour le second.\ On montrera comment analyser la contrainte de convexité sur les domaines, avec des méthodes de calcul de variations, et comment en déduire des informations sur les formes optimales. En dimension 2, on expliquera à quelles conditions sur $J$ les solutions sont régulières ou au contraire polygonales. En dimension plus grande, on donne un résultat similaire, qui s’applique aux deux conjectures.\ Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Dorin Bucur, Ilaria Fragalà, et Arian Novruzi, Michel Pierre.