Emilie Blanc – Modélisation numérique des ondes poroélastiques avec dérivées fractionnaires

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Date/heure
Date(s) - 11/09/2012
11 h 00 min - 12 h 00 min

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On s’intéresse à la propagation des ondes poroélastiques d décrites par le modèle de Biot, dans le domaine temporel. La plupart des m éthodes numériques existantes ont été d développées en régime basse-fréquence [1]. On propose ici de concevoir des méthodes numériques dans l’ensemble du domaine de validité du modèle de Biot. En régime haute-fréquence, les effets de couche limite visqueuse à l’intérieur des pores doivent être pris en compte. On utilise pour cela le modèle de perméabilité dynamique de Johnson- Koplik-Dashen (JKD). Certains coefficients du modèle de Biot-JKD sont alors proportionnels à la racine carrée de la fréquence. Dans le domaine temporel, les équations d’évolution se mettent sous la forme d’un système hyperbolique avec des dérivées fractionnaires. Celles-ci généralisent la notion de dérivées classiques, et reviennent à un produit de convolution en temps dont le noyau singulier est lentement décroissant. Pour calculer ces dérivées fractionnaires, deux stratégies existent. La première consiste à calculer directement le produit de convolution mis en jeu. Cependant, cela nécessite de stocker le passé de la solution, ce qui est trop pénalisant en terme de mémoire informatique. La deuxième stratégie, que nous mettons en oeuvre ici, est basée sur une représentation diffusive du noyau de convolution. Celui-ci est remplacé par un nombre fini de variable de mémoire dont la relaxation est gouvernée par une équation différentielle ordinaire du premier ordre, locale en temps. Les coefficients de la représentation diffusive sont d ?eterminés par une technique d’optimisation sur la plage de fréquence d’intérêt. On propose une analyse mathématique du modèle 1D de Biot-JKD avec représentation diffusive. Le système est modélisé numériquement en utilisant une méthode de splitting : la partie propagative est discrétisée par un schéma aux différences finies ADER, d’ordre 4 en temps et en espace, et la partie diffusive est intégrée exactement. Les propriétés de cet algorithme sont ensuite analysées. Les solutions numériques sont comparées avec des solutions analytiques, pour des valeurs des paramètres physiques représentatives de milieux réels. Des simulations numériques 2D seront également présentées. Les algorithmes proposés rendent possibles des simulations numériques de propagation à travers des milieux complexes.