Egloffe Anne. Claire – Workshop Problemes Inverses

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Date/heure
Date(s) - 22/11/2013
9 h 30 min - 10 h 30 min

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“Inégalités de stabilité pour l’identification de coefficients de Robin dans le système de Stokes” Nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant de la modélisation de l’écoulement de l’air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l’écoulement de l’air dans les poumons : l’écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord. Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons deux inégalités de stabilité logarithmiques, l’une valable en dimension 2 et l’autre valable en toute dimension. Toutes deux sont basées sur des inégalités de Carleman, globale dans le premier cas et locales dans le second. Les inégalités de stabilité sont d’abord montrées sur le problème stationnaire puis la théorie des semi-groupes permet de passer au problème non stationnaire. De plus, sous l?hypothèse a priori que le coefficient de Robin est défini dans un sous-ensemble compact et convexe d?un sous-espace vectoriel de dimension finie de l?espace des fonctions continues, nous obtenons une estimation de stabilité lipschitzienne pour le système de Stokes non stationnaire. La preuve de ce résultat est basé sur des outils très différents des précédents puisqu’elle repose sur des arguments de compacité. Pour conclure, nous revenons au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l’identification de certains paramètres du modèle (résistances à l’écoulement de l’air, élasticité des tissus).