– C. Melot (I2M) : few wavelet coefficients, a lot of local regularity, and some multifractal analysis…

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Date/heure
Date(s) - 07/03/2014
14 h 00 min - 15 h 00 min

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Un peu de coefficients en ondelettes, beaucoup de régularité locale, et de l’analyse multifractale…/few wavelet coefficients, a lot of local regularity, and some multifractal analysis…\n\nby Clothilde Melot (I2M).\n\nResume en francais/Abstract in english below\nLes bases d’ondelettes sont un outil de traitement du signal qui a la particularité d’être utilisé très concrètement dans les applications mais aussi en mathématiques plus théoriques. En effet les liens étroits entre les coefficients en ondelettes d’une fonction et sa régularité, locale mais aussi globale, permettent de considérer le problème suivant : étant donné une fonction dont je connais la régularité globale, est-il possible de quantifier la taille des ensembles de points où elle a une régularité locale donnée ?\nUn certain nombre de réponses à ce problème sont déjà connues quand on prend comme critère de régularité locale l’exposant de Hölder ponctuel (qui quantifie la façon dont la fonction, au voisinage d’un point donné x0 peut être approchée par un polynôme du type Taylor). On peut aussi envisager des critères de régularité locale qui prennent en compte des moyennes locales de la fonction au voisinage du point. En particulier un point de vue est de considérer des critères du type norme Lp locale de la fonction (à laquelle on retire son polynôme de Taylor).\nL’objectif de ce travail est de se concentrer sur une famille de séries d’ondelettes particulières, pour qui les régularités Hölder et Lp locale varient de point en point. On déterminera partout la régularité locale selon chacun des deux critères et on montrera qu’il est possible de quantifier les ensembles de points où elles ont une régularité locale donnée (pour l’un ou l’autre critère).\nTravail en collaboration avec C. Coiffard (IRMA) et T. Willer (I2M)\n\nAbstract in english :\nWavelet basis are a standart tool in signal processing which can be used either for pratical applications or theoritical mathematical proofs. Indeed there are deep relationships between the wavelet coefficients of a function and its regularity, local and global. We may thus focus on the following problem : let a function with a given global regularity. Can we compute the size of the sets of points at which it has a given local regularity ?\nSome answers to this question are already well known, especially when the criterium of local regularity is the pointwise Hölder exponent. We can also look at other pointwise regularity criteria such as local Lp means.\nThe goal of this work is to study a family of wavelet series, and study their local regularity from the point of view of the pointwise Hölder and local Lp criteria. We will prove that these pointwise regularities change from point to point, and compute them at each point. We will also measure the size of the sets of points where the function has a given pointwise regularity (using both criteria).\nThis is a joint work with C. Coiffard (IRMA) and T. Willer (I2M)[

– C. Melot (I2M) : few wavelet coefficients, a lot of local regularity, and some multifractal analysis…

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Un peu de coefficients en ondelettes, beaucoup de régularité locale, et de l’analyse multifractale…/few wavelet coefficients, a lot of local regularity, and some multifractal analysis…\n\nby Clothilde Melot (I2M).\n\nResume en francais/Abstract in english below\nLes bases d’ondelettes sont un outil de traitement du signal qui a la particularité d’être utilisé très concrètement dans les applications mais aussi en mathématiques plus théoriques. En effet les liens étroits entre les coefficients en ondelettes d’une fonction et sa régularité, locale mais aussi globale, permettent de considérer le problème suivant : étant donné une fonction dont je connais la régularité globale, est-il possible de quantifier la taille des ensembles de points où elle a une régularité locale donnée ?\nUn certain nombre de réponses à ce problème sont déjà connues quand on prend comme critère de régularité locale l’exposant de Hölder ponctuel (qui quantifie la façon dont la fonction, au voisinage d’un point donné x0 peut être approchée par un polynôme du type Taylor). On peut aussi envisager des critères de régularité locale qui prennent en compte des moyennes locales de la fonction au voisinage du point. En particulier un point de vue est de considérer des critères du type norme Lp locale de la fonction (à laquelle on retire son polynôme de Taylor).\nL’objectif de ce travail est de se concentrer sur une famille de séries d’ondelettes particulières, pour qui les régularités Hölder et Lp locale varient de point en point. On déterminera partout la régularité locale selon chacun des deux critères et on montrera qu’il est possible de quantifier les ensembles de points où elles ont une régularité locale donnée (pour l’un ou l’autre critère).\nTravail en collaboration avec C. Coiffard (IRMA) et T. Willer (I2M)\n\nAbstract in english :\nWavelet basis are a standart tool in signal processing which can be used either for pratical applications or theoritical mathematical proofs. Indeed there are deep relationships between the wavelet coefficients of a function and its regularity, local and global. We may thus focus on the following problem : let a function with a given global regularity. Can we compute the size of the sets of points at which it has a given local regularity ?\nSome answers to this question are already well known, especially when the criterium of local regularity is the pointwise Hölder exponent. We can also look at other pointwise regularity criteria such as local Lp means.\nThe goal of this work is to study a family of wavelet series, and study their local regularity from the point of view of the pointwise Hölder and local Lp criteria. We will prove that these pointwise regularities change from point to point, and compute them at each point. We will also measure the size of the sets of points where the function has a given pointwise regularity (using both criteria).\nThis is a joint work with C. Coiffard (IRMA) and T. Willer (I2M)[