Alexey Glutsyuk – Sur orbites périodiques dans billards complexes planaires

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Date(s) - 07/12/2012
11 h 00 min - 12 h 30 min

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Une conjecture de Victor Ivrii (1980) dit, que dans tout billard lisse dans un espace euclidien, l’ensemble d’orbites périodiques est de mesure nulle. Cette conjecture est liée à la conjecture de H. Weyl de la théorie spectrale. Le cas particulier pour les orbites triangulaires a été démontré par plusieurs auteurs, tout d’abord, M. Rychlik (1989, en deux dimensions) et Ya. Vorobets (1991, dans toutes dimensions). Le cas des orbites quadrangulaires en deux dimensions a été récemment traité dans notre article avec Yuri Kudryashov. Une nouvelle approche à la conjecture de Ivrii est d’étudier les billards complexes. Nous allons discuter la version de cette conjecture pour les réflexions par rapport aux courbes algébriques complexes planaires. Il se trouve, que dans ce contexte, la conjecture de Ivrii est fausse, et il serait intéressant de classifier les contre-exemples. Nous allons monter, que les seuls contre-exemples “non triviaux” avec quatre réflexions sont formés par couples des coniques confocales. Si le temps le permet, nous parlerons aussi d’un petit résultat pour nombre impair de réflexions.